Optimisation d'un coût moyen

Une entreprise fabrique \(q\)  milliers d'objets, \(q \in [1~;~20]\) . Le coût total de fabrication, exprimé en euros en fonction de \(q\) , est donné par l'expression :  \(C(q) = q^3 - 18q^2 +750q + 200\) .

1. a. Calculer le coût total de fabrication de  \(5\ 000\) objets.
    b. Déterminer le coût moyen de fabrication d'un millier d'objets lorsqu'on fabrique \(5\ 000\)  objets.

2. Le coût moyen \(C_M(q)\)  de fabrication de \(q\)  milliers d'objets, exprimé en euros, est donné par l'expression :  \(C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q} = q^2 - 18q + 750 + \dfrac{ 200}{q}\) .
    a. On note \(C'_M\)  la fonction dérivée, sur l'intervalle \([1~;~20]\) , de la fonction \(C_M\) . Montrer que, pour tout \(q \in [1~;~20]\) ,  \(C'_M(q) = \dfrac{2(q - 10)\left(q^2 + q + 10\right)}{q^2}\) .
    b. Étudier le signe de \(C'_M\)  et dresser le tableau de variations de la fonction \(C_M\)  sur l'intervalle \([1~; 20]\) .
    c. Quel est le coût moyen minimal et pour quelle quantité d'objets est-il obtenu ?